Historie variačního počtu

Cyril Höschl[1]

 

 

 

 

There is hardly any other branch of the mathematical sciences

in which abstract mathematical speculation

and concrete physical evidence go so beautifully together

and complement each other so perfectly.

(Cornelius Lanczos)

 

 

            Objev infinitesimálního počtu v sedmnáctém století otevřel badatelům nové obzory exaktních přírodních věd a umožnil matematické řešení mnoha problémů, jež byly jinými prostředky často neřešitelné. Zvláštní kapitolou byly extremální problémy, tj. vyhledávání maxim a minim různých funkcí. Bylo možné je aplikovat v mnoha úlohách velké praktické důležitosti. Například bylo možno vypočítat poměr poloměru a výšky válcové plechovky na konzervy, aby spotřeba plechu byla při daném objemu co nejmenší (r/h = ½); určit, jak vysoké mají být stožáry veřejného osvětlení, postavené na přímé cestě s roztečí  l , aby cesta  byla maximálně osvětlena ; jak dlouhý smí být vůz (ideálně zobrazený jako úsečka na obr. 1), aby projel z ulice o šířce a do kolmé ulice o šířce b () atd.

                                   Obr. 1

Připomeňme ještě jednu důležitou úlohu z optiky. Paprsek prochází prostředím, v němž se šíří rychlostí v1, a dopadá do prostředí s rychlostí šíření v2 (obr. 2).

 

           

 

                                                           Obr. 2

 

Jakou musíme zvolit dráhu z bodu A do bodu B (oba body jsou dané), aby čas potřebný k proběhnutí paprsku byl nejkratší? Řešení této úlohy vede k rovnici

                                       (1)

Tato rovnice popisuje lom paprsku na rozhraní dvou prostředí o různé optické hustotě. Je to známý Snellův zákon o lomu světla, ale získali jsme jej tentokrát jako matematický důsledek Fermatova principu o průletu paprsku v nejkratším čase.

            Uvedené příklady se týkají vyhledávání extrémů nějaké funkce. Záhy se však pozornost badatelů z konce 17. století upíná ke zcela novému typu extremálních úloh, totiž k variačnímu počtu. Podnětem k tomu byla výzva Jana Bernoulliho (1677-1748) uveřejněná roku 1696 v časopise Acta Eruditorum, jehož vydavatelem byl G. W. Leibniz (1646-1716). Úlohou bylo určit dráhu, která  by spojovala dva body ve svislé rovině (neležící na společné vertikále), po níž by se hmotný bod pohyboval účinkem tíže a bez odporu tak, že by z horního bodu dorazil do spodního v nejkratším čase. Leibniz výzvu doprovodil vlastním posudkem v němž napsal, že jde „o velmi krásnou a neslýchanou úlohu“.

            Bernoulli pak doslova píše: „Smyslem úlohy je, najít mezi nekonečně mnoha křivkami spojujícími oba body takovou, podél které – pokud by byla nahrazena příslušnou tenkou zakřivenou trubicí – by vložená a volně vypuštěná kulička dospěla do druhého bodu v nejkratším čase. Abych však vyloučil jakoukoli dvojznačnost, připomínám výslovně, že přijímám Galileovu hypotézu, o níž žádný rozumný geometr nepochybuje, podle níž –  pokud nedbáme odporu pohybu –  se rychlost padajícího tělesa mění s druhou odmocninou z proběhnutého výškového rozdílu.

            Předpokládejme, že kulička je vypuštěna z bodu O na obr. 3 s nulovou počáteční rychlostí, takže v bodě P má podle uvedené hypotézy rychlost .

           

                                                                       Obr. 3

Element dráhy má velikost  (). Kulička jej proběhne za čas dt = ds/v, takže

            .                                                                                               (2)

Celkový čas, který má být minimem, dostaneme integrací:

             = minimum.                                                                  (3)

Hodnota integrálu závisí na průběhu funkce y(x), je to tedy funkcionál. Vyhledání extrému tohoto funkcionálu je charakteristickou úlohou variačního počtu. V obecném případě jde o úlohu najít neznámou funkci y(x) tak, aby funkcionál

                                                                                                               (4)

nabýval stacionární hodnoty (připomeňme, že hodnota funkce je stacionární, nabývá-li funkce maxima, minima nebo jde-li o inflexní bod s nulovou směrnicí tečny v něm).

            Výzvu Jana Bernoulliho přijali jeho starší bratr Jakub Bernoulli (1654-1705), Leibniz, L´Hospital (1661-1704), Newton (1642-1727) a Huygens (1629-1695). Ti všichni podali správné řešení. Nejjednodušší řešení však podal sám Jan Bernoulli. Vyšel z Fermatova principu (1) a předpokládal, že extremální vlastnost má nejen celá dráha, ale každá její část, tedy i element ds. Podle obr. 4 a rovnice (1) musí tedy platit, že

             

a tedy

            ,             nebo též                                         (5)

 

 

                                                                       Obr. 4

 

Křivka, která vyhovuje této rovnici, je hledaná brachystochrona. Tehdy nebyla k dispozici žádná teorie diferenciálních rovnic, ale z analytických popisů známých křivek bylo možno zkusmo takové rovnice odvodit. Proto Jan Bernoulli snadno rozpoznal, že za rovnicí (5) se skrývá cykloida, táž cykloida, kterou Huygens již předtím nazval tautochrona, křivka, po níž dorazí kulička vypuštěná z libovolného místa do nejnižšího bodu za stejný čas. Najít rovnici cykloidy lze snadno. Podle obr. 5 má obecný  bod cykloidy souřadnice

            ,                    .                                      (6)

Odtud vypočteme derivaci

            .                                                                                     (7)

Z rovnice (7) vyloučíme úhel φ pomocí druhé z rovnic (6) a dostaneme (5).

 

           

                                                    Obr. 5

 

            Jakkoli je uvedený postup obdivuhodný, řeší pouze jedinou speciální úlohu. Řešení navržené Jakubem Bernoullim je sice obecnější, ale vede k velmi složitým vzorcům. Průlom v těchto metodách se podařil až Leonardu Eulerovi,  který se tak stal zakladatelem nové matematické discipliny, variačního počtu. Ve spise Methodus inveniendi linea curvas maximi minimive proprietate gaudentes (Metoda k nalezení křivek, které se těší extremálním vlastnostem) podal obecné řešení problému (4) originálním a geniálním obratem. K funkci y(x) připočetl její variaci , kde  je libovolná „rozumná“ funkce definovaná na intervalu  tak, že  Při daných funkcích lze variovaný funkcionál (4) považovat za funkci f parametru α. Tuto funkci rozvineme kolem bodu  v Taylorovu řadu a dostaneme

            .           (8)

Je-li y(x) hledanou extremálou, nemůže se hodnota funkcionálu J přidáním nekonečně malé variace změnit o více než o nekonečně malou veličinu druhého řádu. To znamená, že se  integrál na pravé straně rovnice (8) musí rovnat nule. Po jeho integraci per partes vyjde

            .                                                                            (9)

První člen odpadá vzhledem k okrajovým hodnotám funkce . Integrál tedy musí být nulový nezávisle na funkci(která je libovolná),  takže musí platit Eulerova rovnice

            .                                                                                                      (10)

 Obdobně jako vymizení derivace funkce při hledání jejího extrému je i splnění Eulerovy rovnice pouze nutnou podmínkou. Dosazením se můžeme přesvědčit, že Eulerova rovnice dává pro úlohu najít extrém funkcionálu (3) nelineární diferenciální rovnici

            .                                                                                                    (11)

Rovnice (11) je rovněž rovnicí cykloidy, neboť ji můžeme dostat vyloučením proměnné φ z rovnic (6) anebo derivací rovnice (5). Její řešení je kupodivu snadné, použijeme-li substituci , a tedy . S integračními konstantami  dostaneme

            .                                                                (12)

Integrační konstanty vypočteme z okrajových podmínek v bodech O, A (obr. 3), kde musí platit . Vyjde  a dále transcendentní rovnice pro neznámé

            .                                                                       (13)

Tu je třeba řešit numericky.

            Bratři Jan a Jakub Bernoulliovi se neměli rádi a žárlili na úspěchy druhého. Proto  Jakub vyzval na oplátku svého bratra, aby vyřešil následující úlohu. Nad základnou OA je třeba vést křivku OPA délky L takovou, že křivka OQA vedená nad stejnou základnou, jejíž pořadnice jsou však n-tou mocninou pořadnic křivky předchozí, uzavírá maximální plochu (viz obr. 6).

Matematicky vyjádřeno, hledáme maximum funkcionálu

                                                                                                      (14)

při vedlejší podmínce

                                                                                            (15)

Protože všechny „konkurenční“ křivky y(x) splňují podmínku (15) konstantní délky, nazývá se tato úloha izoperimetrická.

                                                                       Obr. 6

            Ačkoli se počátek variačního počtu datuje od výzvy Jana Bernoulliho roku 1696, najdeme izoperimetrické úlohy už ve starověkých pověstech. Publius Vergilius Maro vypráví v prvním zpěvu své Aeneis příběh královny Dídó. Ta uprchla z města Tyros (dnešní Súr) do Afriky, když její bratr Pygmalión zavraždil z lakomství jejího manžela Acherbase. Vzala s sebou všechny poklady svého muže a koupila za ně od libyjského krále Iarba tolik země, kolik se dá ohraničit býčí kůží. O tom, jak si Dídó počínala, už Vergilius nepíše, ale poučení o tom nám zanechal římský historik Justinus. Dala kůži rozřezat na nejtenčí proužky (…in tenuissimas paretes secari…), aby mohla ohraničit co největší kus pobřeží. Na tomto místě pak založila město Kartágo, 72 let před založením Říma. Problém královny Dídó se dá podle obr. 7 matematicky formulovat takto:  nad pobřežím znázorněným osou x je třeba vést oblouk dané délky tak, aby plošný obsah jím ohraničený byl maximální. Tedy

                                                                                                    (16)

při vedlejší podmínce

                                                                                              (17)

Integrační proměnnou jsme označili pruhem, abychom ji odlišili od horní meze integrálu.

Nové na této úloze je, že horní mez integrálu je neznámá. Tuto nesnáz můžeme překonat, když zavedeme novou proměnnou, totiž délku oblouku s. Místo (16) a (17) dostaneme jedinou rovnici

                                                                              (18)

Na tento funkcionál lze již aplikovat Eulerovu metodu a pomocí (10) dokázat, že hledaný oblouk musí být půlkružnice. Avšak toto řešení poznal již ve starověku Zenodoros,  a to chytrou úvahou.

Obr. 7

Křivku na obr. 7 doplnil  jejím zrcadlovým obrazem. Obsah obou ploch ohraničených uzavřenou křivkou o délce 2L bude největší, půjde-li o kružnici. Hledaná hranice příštího Kartága musí proto mít tvar půlkružnice. Zenodoros také po prvé použil označení „izoperimetrická úloha“.

            Poněkud složitější izoperimetrickou úlohu obsahuje jiná starověká báje, kterou ve svém rozsáhlém mnohasvazkovém díle Ab urbe condita, věnovaném historii Říma, uvádí Titus Livius. V druhém svazku v kap. 10 líčí hrdinský čin Horatia Coclese, který sám bránil  dřevěný most přes řeku Tiberu před útočícími Etrusky, dokud se římským obráncům nepodařilo most zničit. Potom v plné zbroji skočil do řeky a přeplaval k římskému břehu. Za odměnu dostal tolik půdy, kolik byl schopen ohraničit orbou pluhem za jeden den.  Předpokládáme-li, že půdu získal na rovném úseku břehu řeky, můžeme úlohu formulovat jako požadavek maxima funkcionálu (viz obr. 7)

                                                                                                    (19)

s vedlejší podmínkou, podle které oráč urazí rychlostí celou dráhu za dobu T jednoho dne:

                                                                                                    (20)

Rychlost pluhu v závisí na souřadnicích x, y, protože se od místa k místu mění kvalita půdy. Kdyby byla tato rychlost konstantní, ztotožnily by se obě poslední úlohy a řešením by byla půlkružnice.

            Eulerův spis Methodus inveniendi obsahuje sto zajímavých a obtížných příkladů aplikací variačního počtu, takže matematikové mohli k němu v dalších stoletích jen máloco nového dodat. Přesto nalezneme i v moderní matematické literatuře nově formulované úlohy, jejichž řešení přilákalo vynikající matematiky a často vedlo k nečekaným důsledkům.

            Například roku 1921 formuloval Zermelo navigační úlohu, která byla natolik náročná, že komplikované řešení podal až Levi-Civita. Nad danou rovinou (představující moře) je zadáno pole rychlostí proudění vzduchu (resp. vody) proměnlivé s časem. Loď vyvine relativně ke vzduchu (resp. k vodě) rychlost u konstantní velikosti, jejíž směr se může měnit. Jakou je třeba zvolit dráhu, aby loď připlula z jednoho daného bodu do jiného v nejkratším čase? Levi-Civita zobecnil tuto úlohu i na trojrozměrný případ.

            Zdánlivě jednoduchá je úloha Kakeyova (Kakeya) z roku 1917. Jaký tvar má mít nejmenší plošná (rovinná) oblast, aby se v ní mohla otočit úsečka AB o délce  tak, že se její koncové body vzájemně zamění? Jednou takovou oblastí je zajisté kružnice o průměru , jinou představuje rovnostranný trojúhelník o výšce , jehož plocha je asi o 26% menší než plocha předchozího kruhu. Konečně třetí možností je oblast vymezená třemi hypocykloidálními oblouky podle obr. 8.

Obr. 8

Vznikne v kruhu o poloměru 3a odvalováním jiného kruhu o poloměru a. Tečna AB k oblouku hypocykloidy, vedená v kterémkoli bodě, má konstantní délku 4a = . Zdá se, že je to řešení dané úlohy, neboť plocha vymezená třemi oblouky na obr. 8 je právě polovinou plochy kruhu o průměru 4a. Je tedy nejmenší z uvedených tří možností.

            Kakeyovu úlohu bychom se mohli pokusit vyřešit také tak, že bychom na nějaké hladké uzavřené křivce podle obr. 9 nechali koncové body úsečky AB klouzat. Vytvořilo by se příhraniční pásmo, které je na obr. 9 vyznačeno.

                                                         Obr. 9

To však má podle Holditchovy věty  plochu právě rovnou ploše kruhu o průměru . To snadno pochopíme, rozložíme-li si pohyb na složku translační, vztaženou třeba k dráze těžiště úsečky, a složku rotační. Translační složka k výsledné ploše nijak nepřispívá, protože se plošné přírůstky při zakončení pohybu těžiště úsečky po uzavřené křivce anulují. Rotací úsečky vznikne kruh o průměru AB. Tímto způsobem úsečku sice otočíme, ale záměny bodů A,B nedosáhneme. Řešení podle Kakeyova zadání tak tedy nedostaneme.

            Kakeyova úloha má také praktický význam, neboť ji lze alternativně formulovat jako problém najít tvar letiště o nejmenší ploše, na kterém by mohla letadla přistávat v libovolném směru při dané délce přistávací dráhy. Takto formulované úloze by kinematicky vyhovovalo i řešení podle obr. 9,  ovšem nebyla by to nejmenší možná plocha.

K velkému překvapení matematické obce přinesl časopis Mathematische Zeitschrift roku 1928 příspěvek, v němž matematik Besicovitch dokázal, že Kakeyova úloha nemá řešení. Hledaná plocha může být libovolně malá a skládá se z tisíců velmi úzkých a velmi dlouhých trojúhelníků. Řešení, má-li mít praktický smysl, je tedy třeba omezit podmínkou, že hledaná plocha musí mít konečnou velikost.

            O variačních principech v mechanice pojednává například literatura [2]. Připomeneme zde jenom nejvýznamnější z nich, princip Hamiltonův. Podle něho nabývá  integrálstacionární hodnoty. Jde-li o skleronomní mechanickou soustavu se silovou funkcí nezávislou na čase, je Lagrangeova funkce L = T – V dána rozdílem kinetické a potenciální energie a je funkcí zobecněných souřadnic qi a jejich časových derivací (zobecněných rychlostí) . Aplikací Eulerovy metody získáme známé Lagrangeovy rovnice

            ,     (i = 1, 2, …, n) .                                                                      (21)     Jak nás nabádá Cornelius Lanczos (1893 –1974), variační počet máme studovat pro jeho půvab, a ovšem také jako doklad toho, že už koncem sedmnáctého století existovala ve vědě čilá mezinárodní spolupráce. A jak jsme ukázali, touha po poznání přírody byla tak silná, že se soutěživost a spolupráce navzájem nevylučovaly.

                                                                      

             

 

 

 

Použitá literatura

[1]  SZABÓ, I.: Extremalprobleme in der Matematik und in den Naturwissenschaften.

      Humanismus und Technik, sv. 12, sešit 1, Gesellschaft von Freunden der Technischen

      Universität Berlin, 1968.

[2]  LANCZOS, C.: The variational principles of mechanics. 4. vyd., University of Toronto

       Press, 1970.

[3]  TODHUNTER, I.: History of the calculus of variations in the nineteenth century.

       Chelsey, New York 1962. (Reprint vydání z roku 1861.)

[4]   BAHNÍK, V. a kol.: Slovník antické kultury. Nakladatelství Svoboda, Praha 1974.



[1] Prof. Ing. Cyril Höschl, DrSc., Ústav termomechaniky AV ČR, Dolejškova  5, 182 00  PRAHA 8, e-mail: hoschl@it.cas.cz